精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情
已知函數(shù)f(x)=x3-1 2
x2+bx+c.
(1)若f(x)有極值,求b的取值范圍;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),則f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)f′(x)=3x2-x+b.f(x)有極值?f′(x)=0由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?△=1-12b>0,解得即可.
(2)當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),則f(x)<c2恒成立?f(x)max<c2,利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)max即可解出.
解答:
解:(1)f′(x)=3x2-x+b.令f′(x)=0,
由△=1-12b>0,解得b<1 12
.
(2)∵f(x)在x=1處取得極值,
∴f′(1)=0,∴3-1+b=0,得b=-2.
∴f′(x)=3x2-x-2.
令f′(x)=0,得x1=-2 3
,x2=1.
列表如下: x [-1,-2 3
) -2 3
(-2 3
,1) 1 (1,2] f′(x) + 0 - 0 + f(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
由表格可知:當(dāng)x=-2 3
時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值f(-2 3
)=22 27
+c,而區(qū)間端點(diǎn)處的f(2)=2+c,
∴函數(shù)f(x)的最大值為2+c.
∴2+c<c2,解得c>2或c<-1.
∴c的取值范圍是c>2或c<-1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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(2)如果X=9,求乙組同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù);
(3)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
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