【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的圖像在點
處的切線方程.
(Ⅱ)若且
對任意
恒成立,求
的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)時,證明:
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)3;(Ⅲ)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,據(jù)此可得切線的斜率,然后求解切線方程即可;
(Ⅱ)將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立的問題,構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理即可確定的最大值;
(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中證得的函數(shù)單調(diào)性和不等式的性質(zhì)得到關(guān)于m,n的不等式,對不等式進行整理變形即可證得題中的結(jié)論.
(Ⅰ)因為,所以
,
函數(shù)的圖像在點
處的切線方程
;
(Ⅱ)由題意可知對任意
恒成立即
對任意
恒成立.
令,則
,
令,則
,
所以函數(shù)在
上單調(diào)遞增,
因為,
,
所以方程在
上存在唯一實根
,
且滿足.
當(dāng)時,
即
,
當(dāng)時,
,即
,
所以函數(shù)在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,所以:
,
所以,故整數(shù)
的最大值是3.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,是
上的增函數(shù),
所以當(dāng)時,
即
,
整理得,
因為,故
,
所以,
即,
即,
所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“五一”期間,甲乙兩個商場分別開展促銷活動.
(Ⅰ)甲商場的規(guī)則是:凡購物滿100元,可抽獎一次,從裝有大小、形狀相同的4個白球、4個黑球的袋中摸出4個球,中獎情況如下表:
摸出的結(jié)果 | 獲得獎金(單位:元) |
4個白球或4個黑球 | 200 |
3個白球1個黑球或3個黑球1個白球 | 20 |
2個黑球2個白球 | 10 |
記為抽獎一次獲得的獎金,求
的分布列和期望.
(Ⅱ)乙商場的規(guī)則是:凡購物滿100元,可抽獎10次.其中,第次抽獎方法是:從編號為
的袋中(裝有大小、形狀相同的
個白球和
個黑球)摸出
個球,若該次摸出的
個球顏色都相同,則可獲得獎金
元;記第
次獲獎概率
.設(shè)各次摸獎的結(jié)果互不影響,最終所獲得的總獎金為10次獎金之和.
①求證:;
②若某顧客購買120元的商品,不考慮其它因素,從獲得獎金的期望分析,他應(yīng)該選擇哪一家商場?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查.
(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的半焦距為
,左焦點為
,右頂點為
,拋物線
與橢圓交于
兩點,若四邊形
是菱形,則橢圓的離心率是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個命題:
①“若,則
”的逆否命題為真命題
②“”是“函數(shù)
在區(qū)間
上為增函數(shù)”的充分不必要條件
③若為假命題,則
,
均為假命題
④對于命題:
,
,則
為:
,
其中真命題的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,
平面
,
,
,
,以
,
為鄰邊作平行四邊形
,連接
和
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)線段上是否存在點
,使平面
與平面
垂直?若存在,求出
的長;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值,記交通指數(shù)為,其范圍為
,分別有五個級別:
,暢通;
,基本暢通;
,輕度擁堵;
,中度擁堵;
,嚴(yán)重擁堵.在晚高峰時段(
),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重擁堵的路段的個數(shù);
(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重擁堵的路段中共抽取6個路段,求依次抽取的三個級別路段的個數(shù);
(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個,求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量(單位:百千克)與肥料費用
(單位:百元)滿足如下關(guān)系:
,且投入的肥料費用不超過5百元.此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)
百元.已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為
(單位:百元).
(1)求利潤函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)當(dāng)投入的肥料費用為多少時,該水蜜桃樹獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣,數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)
構(gòu)成等差數(shù)列
,
是
的前
項和,且
,
.
(1)若數(shù)陣中從第3行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,已知,求
的值;
(2)設(shè),當(dāng)
時,對任意
,不等式
恒成立,求
的取值范圍.
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