Question

設正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，當n≥2時，有．
（1）求a₃的值；（2）求數(shù)列{a_n}的通項；
（3）記，證明：對任意n∈N^*，．

Answer 1

【答案】分析：（1）n=2時，，利用條件a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，結合正整數(shù)數(shù)列{a_n}，可求；
（2）先猜后證，關鍵是第二步的證明，必須利用歸納假設；
（3）通過兩次等式相減，利用錯位相減法求和，從而可證．
解答：解：（1）n=2時，，由已知a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，因為正整數(shù)數(shù)列{a_n}，所以a₃=18；
（2）猜想a_n=2×3^n-1，下面用數(shù)學歸納法證明
①n=1，2時成立
②假設時n=k成立，即a_k=2×3^k-1，則a_k-1=2×3^k-2，于是整理結合歸納假設得，因為正整數(shù)數(shù)列{a_n}，所以a_k+1=2×3^k，即n=k+1時成立
綜上知a_n=2×3^n-1
②得③
②-③得：④
∴⑤
④-⑤式得：
點評：本題考查數(shù)列知識的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．