Question

已知函數(shù)f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定義域是R，求實數(shù)a的取值范圍及f（x）的值域；
（2）若f（x）的值域是R，求實數(shù)a的取值范圍及f（x）的定義域．

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)的圖象與性質問題．在解答時，對（1）由于函數(shù)f（x）的定義域是R，所以ax²+2x+1＞0對一切x∈R成立．
解此恒成立問題即可獲得實數(shù)a的取值范圍，再結合二次函數(shù)最值的知識易得函數(shù)f（x）的值域；對（2）由于函數(shù)f（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．然后利用二次函數(shù)的圖象與性質即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）因為f（x）的定義域為R，所以ax²+2x+1＞0對一切x∈R成立．
由此得

a＞0 △=4-4a＜0

解得a＞1．
又因為ax²+2x+1=a（x+

1

a

）²+1-

1

a

＞0，
所以f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-

1

a

），
所以實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞），
f（x）的值域是[lg(1-

1

a

)，+∞)．
（2）因為f（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．
當a=0時，u=2x+1的值域為R?（0，+∞）；
當a≠0時，u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）等價于

a＞0 4a-4 4a ≤0.

解之得0＜a≤1
所以實數(shù)a的取值范圍是[0.1]當a=0時，由2x+1＞0得x＞-

1

2

，
f（x）的定義域是（-

1

2

，+∞）；
當0＜a≤1時，由ax²+2x+1＞0
解得x＜-

1+ 1-a

a

或x＞-

1- 1-a

a

f（x）的定義域是(-∞，-

1+ 1-a

a

)∪(-

1- 1-a

a

，+∞)．

點評：本題考查的是函數(shù)的圖象與性質問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了恒成立的思想、問題轉化的思想以及數(shù)形結合的思想．值得同學們體會和反思．