Question

等腰Rt△ABC斜邊BC上的高AD=1，以AD為折痕將△ABD與△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出以下結(jié)論：

①BD⊥AC
②∠BAC=60°
③異面直線AB與CD之間的距離為

2

2

④點D到平面ABC的距離為

3

3

⑤直線AC與平面ABD所成的角為

π

4

其中正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：棱錐的結(jié)構(gòu)特征,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：運用線面垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的性質(zhì)，即可判斷①；
由AD=BD=CD=1，且互相垂直，即可判斷②；
以D為原點，DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出A，B，C的坐標(biāo)，和向量AB，AC，DC的坐標(biāo)，運用異面直線AB與DC之間的距離d=

| AC • n |

| n |

，求出它，即可判斷③；
運用體積相等，由V_A-BDC=V_D-ABC得點D到平面ABC的距離，可判斷④；
由線面角的定義，即可求出它，可判斷⑤．

解答： 解：∵AD⊥BD，AD⊥CD，平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC=90°，
∴BD⊥平面ACD，∴BD⊥AC，∴①正確；
又知AD=BD=CD=1，∴△ABC為正三角形，∠BAC=60°，∴②正確；
以D為原點，DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
易知A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），
∴

AB

=（1，0，-1），

AC

=（0，1，-1），

DC

=（0，1，0），
設(shè)向量n=（x，y，z），

n

•

AB

=0，

n

•

DC

=0
得x-z=0，y=0，令z=1得n=（1，0，1），
∴異面直線AB與DC之間的距離d=

| AC • n |

| n |

=

2

2

，故③正確；
∵△ABC邊長為

2

，．∴S_△ABC=

3

2

，
由V_A-BDC=V_D-ABC得

1

3

×（

1

2

×1×1）×1=

1

3

×

3

2

×h，∴h=

3

3

，故④正確；

∵CD⊥平面ABD，∴∠CAD為直線AC與平面ABD所成的角，易知∠CAD=45°，故⑤正確；
故答案為：①②③④⑤．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，以及距離和空間角，注意圖形折疊前后的不變和變化，屬于中檔題．