設(shè)為實數(shù)，函數(shù)

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值；

(Ⅱ)求證：當且時，

 

【答案】

(Ⅰ)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是,極小值為;(Ⅱ) 見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)和零的大小關(guān)系求得單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性求得極值；(Ⅱ)先由導(dǎo)數(shù)判斷出在R內(nèi)單調(diào)遞增，說明對任意，都有，而，從而得證.

試題解析：（１）解：由知，．

令，得.于是，當變化時，和的變化情況如下表：

0

+

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．在處取得極小值，極小值為．                 

（２）證明：設(shè)，于是．

由（1）知，對任意,都有，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增．

于是，當時，對任意，都有，而 ，

從而對任意，都有，即故

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值3.利用函數(shù)的最值證明不等式.

 

練習(xí)冊系列答案
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設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，

（1）討論的奇偶性；

（2）求的最小值。

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設(shè)為實數(shù)，函數(shù).

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(2)若寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；

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設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。

（1）若，求的取值范圍     （2）求的最小值     

 （3）設(shè)函數(shù)，直接寫出（不需要給出演算步驟）不等式的解集。

 

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（本小題滿分12分）

    設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。

    (Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值；

(Ⅱ)求證：當且時，。

 

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