Question

證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，復(fù)數(shù)z=

|cost|

+

|sint|

i的模r=|z|適合r≤

4	2

．

Answer 1

分析：先求出復(fù)數(shù)z的模，利用分析法證明r≤

4	2

即可．

解答：證明：復(fù)數(shù)z=

|cost|

+

|sint|

i（其中t是實(shí)數(shù)）的模r=|z|為r=

( |cost| )2+( |sint| )2

=

|cost|+|sint|

.
要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，有r≤

4	2

，
只要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|cost|+|sint|≤

2

成立
對(duì)任意實(shí)數(shù)t，因?yàn)閨cost|²+|sint|²=1
所以可令cos?=|cost|，sin?=|sint|，
且?∈(0，

π

2

)，
于是|cost|+|sint|=cos?+sin?=

2

sin(?+

π

4

)≤

2

.

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的模，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，是中檔題．