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若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)(單位:cm)的正方體的表面積之和為564cm2,則這三個(gè)正方體的體積之和為( �。�
分析:由題意知,若設(shè)這三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為a,b,c,(a<b<c)可得a,b,c滿足關(guān)系式a2+b2+c2=94.進(jìn)而可得a,b,c的范圍,又由3c2≥a2+b2+c2=94,則6≤c<10,即c只能取9,8,7,6.逐個(gè)驗(yàn)證即得a,b,c的值,進(jìn)而得到這三個(gè)正方體的體積之和.
解答:解:設(shè)這三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為a,b,c,
由題意知,6(a2+b2+c2)=564,即a2+b2+c2=94,
不妨設(shè)1≤a≤b≤c<10,從而3c2≥a2+b2+c2=94,即c2>31.
故6≤c<10.c只能取9,8,7,6.
①若c=9,則a2+b2=94-92=13,
易知a=2,b=3,得一組解(a,b,c)=(2,3,9);
②若c=8,則a2+b2=94-64=30,顯然b≤5.但2b2≥30,b≥4,從而b=4或5.
若b=5,則a2=5無解,若b=4,則a2=14無解.此時(shí)無解;
③若c=7,則a2+b2=94-49=45,有唯一解a=3,b=6;
⑤若c=6,則a2+b2=94-36=58,
此時(shí)2b2≥a2+b2=58,b2≥29.故b≥6,但b≤c=6,故b=6,
此時(shí)a2=58-36=22無解.
綜上,共有兩組解
a=2
b=3
c=9
a=3
b=6
c=7.

體積為V1=23+33+93=764cm3V2=33+63+73=586cm3
故答案為:A.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查正方體的表面積、體積,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)(單位:cm)的正方體的表面積之和為84cm2,則這三個(gè)正方體的體積之和為( �。�

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若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)(單位:cm)的正方體的表面積之和為564cm2,則這三個(gè)正方體的體積之和為(  )

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若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)(單位:cm)的正方體的表面積之和為564 cm2,則這三個(gè)正方體的體積之和為                                                          ()

A. 764 cm3或586 cm3                      B. 764 cm3       

C. 586 cm3或564 cm3                      D. 586 cm3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年北京大學(xué)附中高三數(shù)學(xué)提高練習(xí)試卷(6)(解析版) 題型:選擇題

若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)(單位:cm)的正方體的表面積之和為564cm2,則這三個(gè)正方體的體積之和為( )
A.764cm3或586cm3
B.764cm3
C.586cm3或564cm3
D.586cm3

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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