Question

（2011•雙流縣三模）已知函數(shù)f（x）=x³-3x及y=f（x）上一點(diǎn)P（1，-2），過(guò)點(diǎn)P作直線l．
（1）求使直線l和y=f（x）相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；
（2）求使直線l和y=f（x）相切且切點(diǎn)異于P的直線方程y=g（x）；
（3）在（2）的條件下，求F（x）=f（x）+tg（x）（t為常數(shù)）在[2，+∞）上單調(diào)時(shí)，t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可得斜率函數(shù)為f′（x）=3x²-3，進(jìn)而求出所過(guò)點(diǎn)切線的斜率，代入點(diǎn)斜式公式即可．
（2）設(shè)另一切點(diǎn)為（x₀，y₀），求出該點(diǎn)切線方程，再由條件列方程計(jì)算．
（3）由（2）得g（x）=-

9

4

x+

1

4

，則F（x）=x³-3x+t（-

9

4

x+

1

4

），求其導(dǎo)數(shù)，再分類討論：當(dāng)

9

4

t+3≤0時(shí)，F(xiàn)（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F(xiàn)（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)

9

4

t+3＞0時(shí)，求得當(dāng)t≤4時(shí)，F(xiàn)（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，從而求出t的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=x³-3x得，f′（x）=3x²-3，
過(guò)點(diǎn)P且以P（1，-2）為切點(diǎn)的直線的斜率f′（1）=0，
∴所求直線方程為y=-2．
（2）設(shè)過(guò)P（1，-2）的直線l與y=f（x）切于另一點(diǎn)（x₀，y₀），
則f′（x₀）=3x₀²-3．
又直線過(guò)（x₀，y₀），P（1，-2），
故其斜率可表示為

y0-(-2)

x0-1

=

x03-3x0+2

x0-1

，
又

x03-3x0+2

x0-1

=3x₀²-3，
即x₀³-3x₀+2=3（x₀²-1）•（x₀-1），
解得x₀=1（舍）或x₀=-

1

2

，
故所求直線的斜率為k=3×（

1

4

-1）=-

9

4

，
∴y-（-2）=-

9

4

（x-1），
即9x+4y-1=0．
（3）由（2）得g（x）=-

9

4

x+

1

4

，則F（x）=x³-3x+t（-

9

4

x+

1

4

），
∴F′（x）=3x³-（

9

4

t+3），
當(dāng)

9

4

t+3≤0時(shí)，F(xiàn)（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F(xiàn)（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)

9

4

t+3＞0時(shí)，由F′（x）=0得極值點(diǎn)：x₁=-

3 4 t+1

，x₂=

3 4 t+1

，
在

3 4 t+1

≤2，即

3

4

t+1≤4，即t≤4時(shí)，F(xiàn)（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴t的取值范圍：t≤4．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程′、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．