Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和．
（3）求證：

2

3

≤Tn＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由-a₂，S_n，2a_n+1成等差得到數(shù)列遞推式2S_n=-a₂+2a_n+1，取n=n-1得另一遞推式，作差后即可證得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，然后求得其通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

，然后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和；
（3）由（2）中求得的結(jié)論直接放縮得答案．

解答： （1）解：∵-a₂，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列，
∴2S_n=-a₂+2a_n+1，
當(dāng)n≥2，S_n-1=-a₂=2a_n，
兩式相減得2a_n=2a_n+1-2a_n，
a_n+1=2a_n（n≥2），
∴

an+1

an

=2．
又當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=-a₂+2a₂，得a₂=2a₁，
∴n=1時(shí)也滿足

an+1

an

=2．
∴{a_n}是首項(xiàng)a₁=2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）解：∵b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

；
（3）證明：∵2ⁿ⁺¹≥4，
∴Tn≥1-

1

3

=

2

3

，
又

1

2n+1-1

＞0，
∴T_n＜1．
∴

2

3

≤Tn＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．