【題目】在平面直角坐標系中,點
為橢圓
:
的右焦點,過
的直線與橢圓
交于
、
兩點,線段
的中點為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線、
斜率的乘積為
,兩直線
,
分別與橢圓
交于
、
、
、
四點,求四邊形
的面積.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)設,
,
,
,利用點差法求出直線
的斜率為:
,又直線
的斜率為:
,所以
,得到
,再結合
,
,即可求出
,
,
的值,從而求得橢圓
的方程;
(2)設點,
,
,
,由題意可知
,當直線
的斜率不存在時,易求四邊形
的面積
,當直線
的斜率存在時,設直線
的方程為:
,與橢圓方程聯立,利用韋達定理代入
得
,再由弦長公式和點到直線距離公式求得
,由橢圓的對稱性可知:四邊形
的面積為
,從而得到邊形
的面積為
.
(1)由題意可知,,設
,
,∴
,
,
又∵點,
在橢圓上,∴
,兩式相減得:
,
∴,即直線
的斜率為:
,
又∵直線過右焦點
,過點
,∴直線
的斜率為:
,
∴,∴
,又∵
,
,∴
,
,∴橢圓
的方程為:
;
(2)設點,
,
由題意可知,,即
,①當直線
的斜率不存在時,顯然
,
,
∴,又
,∴
,
,
∴四邊形的面積
,
②當直線的斜率存在時,設直線
的方程為:
,
聯立方程,消去
得:
,
∴,
,
∴,
∵,∴
,
整理得:,
由弦長公式得:,
原點(0,0)到直線的距離
,
∴,
由橢圓的對稱性可知:四邊形的面積為
,
綜上所述,四邊形的面積為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率
,橢圓上的點到左焦點
的距離的最大值為
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知直線與橢圓
交于
、
兩點.在
軸上是否存在點
,使得
且
,若存在,求出實數
的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人進行圍棋比賽,比賽要求雙方下滿五盤棋,開始時甲每盤棋贏的概率為,由于心態(tài)不穩(wěn),甲一旦輸一盤棋,他隨后每盤棋贏的概率就變?yōu)?/span>
.假設比賽沒有和棋,且已知前兩盤棋都是甲贏.
(Ⅰ)求第四盤棋甲贏的概率;
(Ⅱ)求比賽結束時,甲恰好贏三盤棋的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點
為橢圓
:
的右焦點,過
的直線與橢圓
交于
、
兩點,線段
的中點為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線、
斜率的乘積為
,兩直線
,
分別與橢圓
交于
、
、
、
四點,求四邊形
的面積.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知圓,圓
,如圖,C1,C2分別交x軸正半軸于點E,A.射線OD分別交C1,C2于點B,D,動點P滿足直線BP與y軸垂直,直線DP與x軸垂直.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點E作直線l交曲線C與點M,N,射線OH⊥l與點H,且交曲線C于點Q.問:的值是否是定值?如果是定值,請求出該定值;如果不是定值,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知直線與函數
(
)的圖象相交,將其中三個相鄰交點從左到右依次記為A,B,C,且滿足
有下列結論:
①n的值可能為2
②當,且
時,
的圖象可能關于直線
對稱
③當時,有且僅有一個實數ω,使得
在
上單調遞增;
④不等式恒成立
其中所有正確結論的編號為( )
A.③B.①②C.②④D.③④
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