Question

（2009•武漢模擬）（文科做）已知曲線f（x）=x³+bx²+cx+d經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），且直線y=0與y=-x均與曲線c：y=f（x）相切．
（1）求f（x）的解析式；         
（2）在b∈R⁺時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）易得出d=0，y=x³+bx²+cx．設(shè)y=-x與y=x³+bx²+cx切于點(diǎn)（x₀，y₀），則有如下三個(gè)關(guān)系：①點(diǎn)（x₀，y₀）在y=-x上，②點(diǎn)（x₀，y₀）在y=x³+bx²+cx上 ③f′（x₀）=-1
以x0為橋梁得出b，c關(guān)系或數(shù)值．同樣地再通過y=-x均與曲線c：y=f（x）相切．最后確定b，c的值，得出解析式．
 （2）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，再求極值．

解答：解：（1）若y=x³+bx²+cx+d過點(diǎn)（0，0），則d=0，∴y=x³+bx²+cx．
設(shè)y=-x與y=x³+bx²+cx切于點(diǎn)（x₀，y₀），則

y0=-x0 x 3 0 +b x 2 0 +cx0=y0 3 x 2 0 +2bx0+c=-1

即

3 x 2 0 +2bx0+c+1=0 x0( x 2 0 +bx0+c+1)=0

，
若x₀=0時(shí)，則c+1=0；
若x₀≠0時(shí)，則

x 2 0 +bx0+c+1=0 3 x 2 0 +2bx0+c+1=0

則2x₀²+bx₀=0，∵x₀≠0，，則有x0=-

b

2

，將x0=-

b

2

代入x₀²+bx₀+c+1=0中得到：

b2

4

=c+1．
故c=-1或

b2

4

=c+1．
設(shè)y=0與y=x³+bx²+cx切于點(diǎn)（x₁，y₁），則

y0=0 3 x 2 1 +2bx1+c=0 x 3 1 +b x 2 1 +cx1=0

，即

3 x 2 1 +2bx1+c=0 x1( x 2 1 +bx1+c)=0

，
若x₁=0時(shí)，有c=0；
若x₁≠0時(shí)，則

3 x 2 1 +2bx1+c=0 x 2 1 +bx1+c=0

則2x₁²+bx₁=0，∴x1=-

b

2

代3x₁²+2bx₁+c=0中得到

b2

4

=c
故c=0或

b2

4

=c．
在c=-1時(shí)，

b2

4

=c不可能成立，舍c=-1．
在c=0時(shí)，

b2

4

=c+1，則b=±2，故所是解析式為y=x³±2x²．
（2）在b＞0時(shí)，y=x³+2x²，y′=3x²+4x=x（3x+4）
由y′＞0得  x＜-

4

3

或x＞0  f（x）的單增區(qū)間是（-∞，-

4

3

），（0，+∞）
由y′=0 得x=-

4

3

或x=0
由y′＜0得 0＞x＞-

4

3

，f（x）的單減區(qū)間是（-

4

3

，0）
 在x=-

4

3

時(shí)取極大值．f(-

4

3

)=

32

27

，x=0時(shí)取得極小值 f（0）=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)極值求解，是常規(guī)題．