Question

已知{a_n}為等比數(shù)列，S_n為其前n項和，且a_n+1=2S_n+1（n≥1）；等差數(shù)列{b_n}滿足b₄=a₂，且9b₂+a₃=0，{b_n}的前n項和為T_n．
（1）分別求a_n及T_n；
（2）是否存在k∈N^*，使得T_k+a_k∈（10，20），請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a_n+1=2S_n+1⇒a_n=2S_n-1+1（n≥2），兩式相減，可求得

an+1

an

=3（n≥2），利用{a_n}為等比數(shù)列，可求得a₁=1，從而可得其通項公式；同理可求得等差數(shù)列{b_n}的通項公式及前n項和為T_n．
（2）T_k+a_k=k²-4k+3^k-1=（k-2）²+3^k-1-4，對k分k≥2與k=1兩類討論，分析運算后可得答案．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2S_n+1，
∴a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得：a_n+1-a_n=2a_n，
∴

an+1

an

=3（n≥2），
又{a_n}為等比數(shù)列，∴

a2

a1

=

2a1+1

a1

=3，
∴a₁=1，
∴a_n=3^n-1；
又等差數(shù)列{b_n}滿足b₄=a₂=3，且9b₂+a₃=9b₂+1×3²=0，
∴b₂=-1，b₄=b₂+2d=-1+2d=3，
∴公差d=2，
∴b_n=-1+（n-2）×2=2n-5．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(-3+2n-5)

2

=n²-4n；
（2）∵T_k+a_k=k²-4k+3^k-1=（k-2）²+3^k-1-4，
當k≥2時，g（k）=（k-2）²+3^k-1-4單調(diào)遞增，
當k=2時，g（k）=-1∉（10，20）；
當k=3時，g（k）=6∉（10，20）；
當k=4時，g（k）=27∉（10，20）；
∴k≥2時，不存在k∈N^*，使得T_k+a_k∈（10，20）；
當k=1時，g（k）=-2∉（10，20）；
綜上所述，所以不存在存在k∈N*，使得Tk+ak∈（10，20）．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合應用，考查分析運算能力，屬于難題．