Question

過點作傾斜角為α的直線l與曲線x²+12y²=1交于點M，N．求|PM|•|PN|的最小值及相應的α的值．

Answer 1

【答案】分析：由已知直線MN過點P（，0）且傾斜角為a，可先寫出直線的參數(shù)方程，將直線參數(shù)方程代入曲線方程x²+12y²=1交于，并將其化為一個關于t的一元二次方程，結合韋達定理和余弦函數(shù)的性質，即可求出PM•PN的最小值．
解答：解：xz 設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）直線方程y=k（x-），
則k=tana，向量=（），
聯(lián)立橢圓方程得，
韋達定理得，，），
則|PM||PN|==（）•（）
=
=
=
=（k²+1）（-）
==
當直線與橢圓相切時，|PM||PN|的值最小，
此時△=0，即，|PM||PN|的最小值為
于是此時a=arctan或π-arctan
點評：本題主要考查了直線與橢圓的相交關系的應用，解題的關鍵是尋求PM．PN取得最小值時的M，N的位置關系