Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=1，{b_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{a_n+b_n}的前三項(xiàng)依次為5，11，21．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的公差，根據(jù)所給的兩個(gè)數(shù)列的和的前三項(xiàng)的值，列出關(guān)于d，q的方程，解方程得到公比和公差，寫出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（II）根據(jù)上一問做出的數(shù)列的通項(xiàng)公式，把兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公比，公差代入求前n項(xiàng)和的公式，得到結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）由題意設(shè)數(shù)列{a_n}公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q．
∵a₁=1，a₁+b₁=5，
∴b₁=4…（1分）
又∵a₂+b₂=11，a₃+b₃=21，
∴1+d+4q=11，1+2d+4q²=21…（3分）
解得：d=2，q=2…（5分）
∴a_n=2n-1，b_n=2ⁿ⁺¹…（8分）
（Ⅱ）S_n=（a₁+a₂+…a_n）+（b₁+b₂+…b_n）
=． …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比與等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件求出公比和公差，做出數(shù)列的首項(xiàng)，本題是一個(gè)中檔題目．