Question

已知圓C：x²+y²=16，點P（3，

7

）．
（1）求以點P（3，

7

）為切點的圓C的切線所在的直線方程；
（2）求經過點P（3，

7

）且被圓C：x²+y²=16截得的弦長為2

7

的直線方程．

Answer 1

分析：（1）算出直線OP的斜率k=

7

3

，從而由切線的性質得切線的斜率k'=

-1

k

=-

3 7

7

，再由直線方程的點斜式列式，即可得到所求以點P為切點的圓C的切線方程；
（2）由垂徑定理，算出直線到圓心的距離為d=3，利用點到直線的距離公式算出所求直線的斜率m=-

7

21

，得直線方程為x+3

7

y-24=0．再檢驗得當直線斜率不存在時，x=3也符合題意，即可得到所求兩條直線方程．

解答：解：（1）∵圓C：x²+y²=16的圓心為O（0，0），切點為P（3，

7

）
∴直線OP的斜率k=

7

3

，可得切線的斜率k'=

-1

k

=-

3 7

7

因此，以點P（3，

7

）為切點的圓C的切線，
所在的直線方程為y-

7

=-

3 7

7

（x-3），化簡得3x+

7

y-16=0；
（II）設所求直線方程為y-

7

=m（x-3），即mx-y+

7

-3m=0
∵圓C：x²+y²=16的半徑為r=4，
∴設直線到圓心的距離為d，則d=

r2-( 7 )2

=3
可得

| 7 -3m|

m2+1

=3，解之得m=-

7

21

，得直線方程為x+3

7

y-24=0
經檢驗，可得當直線斜率不存在時，x=3也符合題意
綜上所述，可得所求直線方程為x=3或x+3

7

y-24=0．

點評：本題給出直線經過定點，求滿足條件的定圓切線和割線的方程，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．