Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁B₁B⊥底面ABC，側棱AA₁與底面ABC成60°角，AA₁=2，底面ABC是邊長為2的三角形，G為三角形ABC內一點，E是線段BC₁上一點，且，．
（1）請判斷點G在三角形ABC內的位置；
（2）求平面B₁GE與底面ABC所成銳角二面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）先取AB中點O，根據∠A₁AB=60°以及AA₁=AB=2，得到AO⊥底面ABC；再O為原點建立空間直角坐標系求出各點的坐標；結合求出點E的坐標，再結合求出點G的坐標，即可得到結論．
（2）先根據條件求出兩個平面的法向量，再直接代入向量夾角的計算公式即可求出結論．
解答：解：（1）∵側面AA₁B₁B⊥底面ABC，側棱AA₁與底面ABC成60角
∴∠A₁AB=60°；
又AA₁=AB=2，取AB中點O，則AO⊥底面ABC，…（1分）
以O為原點建立空間直角坐標系：
則A₁（0，0，），B₁（0，2，），C₁（，1，）
A（0，-1，0），B（0，1，0），C（，0，0）
設G（x，y，0）
∵=，∴E（，1，）．
又∵=，
=（0，3，），=（-x，1-y，）．
∴G（，0，0）．
所以：G為中心．…（6分）
（2）設平面B₁GE的法向量為=（x，y，z），則由=0及=0．
∴得=（，-1，）．，…（8分）
又底面ABC的法向量為=（0，0，1），設平面B₁GE與底面ABC所成銳角二面角的大小為θ
所以：cosθ==，
故θ=arccos．
∴平面B₁GE與底面ABC所成銳角二面角的大小為arccos…（12分）
點評：本題主要考查了點的位置的判定，以及二面角的度量等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力，屬于中檔題，本題解題的關鍵是找出二面角的平面角對應的法向量．