Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n+a_n=n（n∈N⁺）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：

1

2a1

+

1

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

＜2．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）當n=1時，a₁+a₁=1，解得a1=

1

2

．S_n+a_n=n，當n≥2時，S_n-1+a_n-1=n-1，可得an-1=

1

2

(an-1-1)，a1-1=-

1

2

．利用等比數列的相同公式即可得出；
（2）利用

1

2nan

=

1

2n-1

≤

1

2n-1

，再利用等比數列的前n項和公式就看得出．

解答： （1）解：當n=1時，a₁+a₁=1，解得a1=

1

2

．
S_n+a_n=n，當n≥2時，S_n-1+a_n-1=n-1，可得a_n+a_n-a_n-1=1，
∴an-1=

1

2

(an-1-1)，a1-1=-

1

2

．
∴數列{a_n-1}是等比數列，an-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1，
∴an=1-

1

2n

．
（2）證明：∵

1

2nan

=

1

2n-1

≤

1

2n-1

，
∴

1

2a1

+

1

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

≤1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)＜2．
∴

1

2a1

+

1

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

＜2．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及前n項和公式、“放縮法”、遞推式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．