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如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所成的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．

(1)求證：AM∥平面BDE．

(2)求二面角A－DF－B的大�。�

(3)試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°

答案：
解析：

　　(1)證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，

　　設AC∩BD＝N，連結NE，則點N、E的坐標分別為(，，0)，(0，0，1)．

　　∴＝(，，1)．

　　又點A、M的坐標分別是(，0)、(，，1)．

　　∴＝(，，1)．

　　∴＝且與不共線．

　　∴NE∥AM．

　　又∵NE平面BDE，AM平面BDE，

　　∴AM∥平面BDE．

　　(2)解：∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，

　　∴AB⊥平面ADF．

　　∴＝(，0，0)為平面DAF的一個法向量．

　　∵·＝(，，1)·(，0)＝0，·＝(，，1)·(0，，1)＝0，

　　∴⊥，⊥．

　　∴為平面BDF的一個法向量．

　　∴cos〈，〉＝．

　　∴與的夾角是60°．

　　即所求二面角A－DF－B的大小是60°．

　　(3)解：設P(t，t，0)(0≤t≤)，

　　得＝(－t，－t，1)，＝(0，，0)，

　　又∵PF和BC所成的角是60°，

　　∴cos60°＝．

　　解得t＝或t＝(舍)．

　　即點P是AC的中點．


提示：

本題考查了線面位置關系的判定，二面角的求法，以及線線角問題，屬于綜合性較強的題目．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點．
（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，過正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于M，N，則當
MN
BN
最小時，CN=
5
-1
2
5
-1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=
2
，CE=2
2
，CE∥AF，AC⊥CE，
ME
=2
FM

（I）求證：CM∥平面BDF；
（II）求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大��；
（III）求二面角A-DF-B的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大小；
（2）在線段AC上找一點P，使PF與AD所成的角為60°，試確定點P的位置．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳二模）如圖，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形A′B′C′D′，其中A與A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）證明AD′∥平面BB′C′C，并指出四邊形AB′C′D′的形狀；
（2）如果四邊形中AB′C′D′中，AD′=
2
，AB′=
5
，正方形的邊長為
6
，求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值．

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