解:f′(x)=

=

[x
2-(a+

)x+1]=

(x-a)(x-

)
由題設(shè)知x>0
a-

=

(1)a=-1時,f′(x)<0,則f(x)的單減區(qū)間是(0,+∞)
(2)①0<a<1時,a-

<0,即0<a

,則f(x)在(0,a)和(

,+∞)上單增,在(a,

)上單減
②a=1時,a=

=1,f′(x)≥0,則f(x)在(0,+∞)上單增
③a>1時,a-

>0即0<

<a,則f(x)在(0,

)和(a,+∞)上單增,在(

,a)上單減
(3)由(2)知,a=2,1<x<3時,
當(dāng)x=2時f(x)得到最小值為f(2)=

∴1<x≤3時,g(x)>f(x)恒有解,需b
2x
2-3x+

>

在1<x<3時有解
即b
2>3[

]有解,
令t=

,k(t)=

+t,

,
k′(t)=1-t>0,∴k(t) 在

上單增
∴
∴需b
2
,即b

或b

∴b的范圍是(-∞,

)∪(

,+∞).
分析:(1)求出f′(x)把a(bǔ)=-1代入到f′(x),令f′(x)>0時,得到函數(shù)的遞增區(qū)間;令f′(x)<0時,得到函數(shù)的遞減區(qū)間;
(2)在求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況;
(3)g(x)>f(x)恒有解,分類參數(shù)可得即b
2>3[

]有解,利用換元法和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)k(t)=

+t,

的最值,即可求得結(jié)論.
點(diǎn)評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力,理解函數(shù)恒成立取到的條件,考查應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運(yùn)算能力,分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬難題.