Question

某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr²分(其中r是瓶子的半徑,單位是厘米).已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.

(1)瓶子半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大?

(2)瓶子半徑多大時(shí),每瓶飲料的利潤(rùn)最小?

Answer 1

分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

解：由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤(rùn)是

y=f(r)=0.2×πr³-0.8πr²=0.8π(-r²),0<r≤6.     

令f′(r)=0.8π(r²-2r)=0.

當(dāng)r=2時(shí),f′(r)=0;

當(dāng)r∈(0,2)時(shí),f′(r)<0;

當(dāng)r∈(2,6)時(shí),f′(r)>0.     

因此,當(dāng)半徑r>2時(shí),f′(r)>0,它表示f(r)單調(diào)遞增,即半徑越大,利潤(rùn)越高;半徑r<2時(shí),f′(r)<0,它表示f(r)單調(diào)遞減,即半徑越大,利潤(rùn)越低.         

(1)半徑為6 cm時(shí),利潤(rùn)最大.       

(2)半徑為2 cm時(shí),利潤(rùn)最小,這時(shí)f(2)<0,表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本,此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值.