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已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知動直線y＝k(x＋1)與橢圓C相交于A，B兩點．

①若線段AB中點的橫坐標為－，求斜率k的值；

②已知點M(－，0)，求證：·為定值．

 

（1）＋＝1

（2）①± ②見解析

【解析】(1)＋＝1(a>b>0)滿足a2＝b2＋c2，又＝，×b×2c＝，

解得a2＝5，b2＝，則橢圓方程為＋＝1．

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)．

①將y＝k(x＋1)代入＋＝1，

得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，

∴Δ＝48k2＋20>0，x1＋x2＝－，

∵AB中點的橫坐標為－，

∴－＝－1，解得k＝±．

②由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，

∴·＝(x1＋，y1)·(x2＋，y2)

＝(x1＋)(x2＋)＋y1y2

＝(x1＋)(x2＋)＋k2(x1＋1)(x2＋1)

＝(1＋k2)x1x2＋(＋k2)(x1＋x2)＋＋k2

＝(1＋k2)＋(＋k2)(－)＋＋k2

＝＋＋k2＝ (定值)．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2015高考數學（理）一輪配套特訓：9-1隨機抽樣（解析版） 題型：填空題

某報社做了一次關于“什么是新時代的雷鋒精神”的調查，在A，B，C，D四個單位回收的問卷數依次成等差數列，且共回收1000份，因報道需要，再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本，若在B單位抽取30份，則在D單位抽取的問卷是________份．

 

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科目：高中數學 來源：2015高考數學（理）一輪配套特訓：8-7拋物線（解析版） 題型：選擇題

已知直線l1：4x－3y＋11＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　)

A．2 B．3 C． D．

 

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科目：高中數學 來源：2015高考數學（理）一輪配套特訓：8-6雙曲線（解析版） 題型：解答題

設圓C與兩圓(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一個內切，另一個外切．

(1)求C的圓心軌跡L的方程；

(2)已知點M(，)，F(，0)，且P為L上動點，求||MP|－|FP||的最大值及此時點P的坐標．

 

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科目：高中數學 來源：2015高考數學（理）一輪配套特訓：8-6雙曲線（解析版） 題型：選擇題

已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，一個焦點與拋物線y2＝16x的焦點相同，則雙曲線的方程為(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－＝1 D．－＝1

 

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科目：高中數學 來源：2015高考數學（理）一輪配套特訓：8-5橢圓（解析版） 題型：解答題

設A，B分別為橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點，(1，)為橢圓上一點，橢圓長半軸長等于焦距．

(1)求橢圓的方程；

(2)設P(4，x)(x≠0)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M，N，求證：∠MBN為鈍角．

 

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科目：高中數學 來源：2015高考數學（理）一輪配套特訓：8-5橢圓（解析版） 題型：選擇題

橢圓＋y2＝1的兩個焦點為F1，F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|＝(　　)

A． B． C． D．4

 

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科目：高中數學 來源：2015高考數學（理）一輪配套特訓：8-4直線與圓、圓與圓的位置關系（解析版） 題型：選擇題

若點P(3，－1)為圓(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程為(　　)

A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0

C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0

 

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科目：高中數學 來源：2015高考數學（理）一輪配套特訓：8-1直線的傾斜角與斜率、直線方程（解析版） 題型：填空題

已知直線l經過點(，2)，其橫截距與縱截距分別為a、b(a、b均為正數)，則使a＋b≥c恒成立的c的取值范圍為________．

 

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