Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，試求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，如果存在a∈（-∞，-1]，對(duì)任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，試求b的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意知，f'（x）=3ax²+2x-a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn)…（1分）
由3ax²+2x-a=0，得a（3x²-1）=-2x…（2分）
∵3x²-1≠0，∴…（3分）
令，…（4分）
故在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，其值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/41509.png' />，
∴a的取值范圍是…（6分）
（2）∵h(yuǎn)（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
由已知得：h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0…①…（7分）
當(dāng)x=-1時(shí)，不等式①成立…（8分）
當(dāng)-1＜x≤b時(shí)，不等式①化為：ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②…（9分）
令φ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由于二次函數(shù)φ（x）的圖象是開口向下的拋物線，
故它在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得，又φ（-1）=-4a＞0…（10分）
∴不等式②恒成立的充要條件是φ（b）≥0，即ab²+（2a+1）b+（1-3a）≥0，，
∵這個(gè)關(guān)于a的不等式在區(qū)間（-∞，-1]上有解，
∴，即，∴b²+b-4≤0…（11分）
∴，又b＞-1，故…（12分）
從而，此時(shí)唯有a=-1符合條件…（14分）
分析：（1）由題意知，f'（x）=3ax²+2x-a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn)，由3ax²+2x-a=0，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，確定其值域，即可求得結(jié)論；
（2）存在a∈（-∞，-1]，對(duì)任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，等價(jià)于h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，進(jìn)而分類討論，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．