Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3log

1

4

an（n∈N^*），c_n=a_nb_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題a_n=(

1

4

)n，（n∈N^*），再根據(jù)b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．先根據(jù)c_n=a_nb_n（n∈N^*）求出數(shù)列{c_n}通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）由題意知，a_n=(

1

4

)n，（n∈N^*），（2分）
又b_n=3log 

1

4

a_n-2，故b_n=3n-2，（n∈N^*），（4分）
（2）由（1）知，a_n=(

1

4

)n，b_n=3n-2，（n∈N^*），∴c_n=（3n-2）×(

1

4

)n，（n∈N^*），（6分）
∴S_n=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+（3n-5）×(

1

4

)n-1+（3n-2）×(

1

4

)n，
∴

1

4

S_n=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+（3n-8）×(

1

4

)n-1+（3n-5）×(

1

4

)n+（3n-2）×(

1

4

)n+1，
兩式相減，得

3

4

S_n=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-（3n-2）×(

1

4

)n+1=

1

2

-（3n+2）×(

1

4

)n+1
∴S_n=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n，（n∈N^*）（12分）

點(diǎn)評：本題考查了等差與等比數(shù)列的綜合，主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和的技巧錯(cuò)位相減法，如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)乘積組成，即可用錯(cuò)位相減法求和．本題易因錯(cuò)位相減時(shí)規(guī)則不熟悉出錯(cuò)，要好好研究．