Question

已知橢圓C焦點在x軸上，其長軸長為4，離心率為，
（1）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）如圖，過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點，設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時a，b滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知．由此得．設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由得（1+4k²）x²+16kx+12=0．由△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，知．又，由．得-2＜k＜2．由此得：．
（2）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等．當P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為，由d=1得，當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，P（x₁，kx₁），則直線RQ的斜率為，由，得（1），同理．由此知a，b滿足條件．
解答：解：（1）∵橢圓C焦點在x軸上，其長軸長為4，離心率為，
∴．解得a=2，b=1，∴
顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（5分）
由得（1+4k²）x²+16kx+12=0．∵△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，
∴
又
由．∴．
所以=∴-2＜k＜2．
由此得：．
（2）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等．
當P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為，由d=1得，
當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，P（x₁，kx₁），則直線RQ的斜率為，
由，得（1），同理
在Rt△OPQ中，由，即|PQ|²=|OP|²•|OQ|²
所以，化簡得，
分，
即．
綜上，d=1時a，b滿足條件
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．