【題目】已知函數(shù),其中
為實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)
在其定義域上的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意的
,
恒成立?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;若存在,求出
的值并加以證明.
【答案】(1)在
和
上單調(diào)遞增(2)存在,
,證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)求導(dǎo)得,,設(shè)
,由
恒成立,即可得到本題答案;
(2)當(dāng)時(shí),
,則
,求
的最大值,可確定a的取值范圍;當(dāng)
時(shí),
,則
,求
的最小值,可確定a的取值范圍,綜上,即可得到本題答案.
(1)當(dāng)時(shí),
,
,
令,
.
當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
.
∴,
∴恒成立,
∴時(shí),
恒成立.
∵恒成立,
∴在
和
上單調(diào)遞增.
(2)①當(dāng)時(shí),
,則
,
令,則
,
再令,則
,
故當(dāng)時(shí),
,所以
在
上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),
,所以
,
所以在
上單調(diào)遞增,
,所以
.
②當(dāng)時(shí),
,則
.
由①知當(dāng)時(shí),
,
在
上單調(diào)遞增,當(dāng)
時(shí),
,
所以,所以
在
上單調(diào)遞增,
所以,所以
.
綜合①②得:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)分別在
軸和
軸上運(yùn)動(dòng),且
,若動(dòng)點(diǎn)
滿足
.
(1)求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線與曲線
有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),與圓
相交于兩點(diǎn)
(兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上),求直線
的斜率之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);
(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是:
(
是參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且,試求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的底面是正三角形,
底面
,M為
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)若,且沿側(cè)棱
展開(kāi)三棱柱的側(cè)面,得到的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)為
,求作點(diǎn)
在平面
內(nèi)的射影H,請(qǐng)說(shuō)明作法和理由,并求線段AH的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某手機(jī)廠商在銷售200萬(wàn)臺(tái)某型號(hào)手機(jī)時(shí)開(kāi)展“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”活動(dòng)、活動(dòng)規(guī)則如下:用戶購(gòu)買該型號(hào)手機(jī)時(shí)可選購(gòu)“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”,保費(fèi)為元,若在購(gòu)機(jī)后一年內(nèi)發(fā)生碎屏可免費(fèi)更換一次屏幕.該手機(jī)廠商將在這
萬(wàn)臺(tái)該型號(hào)手機(jī)全部銷售完畢一年后,在購(gòu)買碎屏險(xiǎn)且購(gòu)機(jī)后一年內(nèi)未發(fā)生碎屏的用戶中隨機(jī)抽取
名,每名用戶贈(zèng)送
元的紅包,為了合理確定保費(fèi)
的值,該手機(jī)廠商進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)后得到下表(其中
表示保費(fèi)為
元時(shí)愿意購(gòu)買該“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”的用戶比例);
(1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)求出關(guān)于
的回歸直線方程;
(2)通過(guò)大數(shù)據(jù)分析,在使用該型號(hào)手機(jī)的用戶中,購(gòu)機(jī)后一年內(nèi)發(fā)生碎屏的比例為.已知更換一次該型號(hào)手機(jī)屏幕的費(fèi)用為
元,若該手機(jī)廠商要求在這次活動(dòng)中因銷售該“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”產(chǎn)生的利潤(rùn)不少于
萬(wàn)元,能否把保費(fèi)
定為5元?
x | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
y | 0.79 | 0.59 | 0.38 | 0.23 | 0.01 |
參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
,
,
參考數(shù)據(jù):表中的5個(gè)值從左到右分別記為
,相應(yīng)的
值分別記為
,經(jīng)計(jì)算有
,其中
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),若以
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的普通方程與曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若是曲線
上的任意一點(diǎn),
是曲線
上的任意一點(diǎn),求線段
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,△ABC的周長(zhǎng)為7,求b.
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