Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的有極值點(diǎn)，求b的取值范圍及f（x）的極值點(diǎn)；
（3）求證對任意不小于3的正整數(shù)n，不等式都成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），將f′（x）變形為，再結(jié)合x＞0和得f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）方程在（0，∞）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，函數(shù)有極值．然后利用根的判別式算得當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，最后根據(jù)b≤0和0＜b＜兩種情況分別得出函數(shù)的極值點(diǎn)；
（3）由（2）可知當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，利用其單調(diào)性，取自變量，可以證出n≥3時(shí)，再設(shè)出函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx，用類似的方法得出n≥3時(shí)成立，兩者相結(jié)合可得對任意不小于3的正整數(shù)n，不等式都成立．
解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

∴當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域上無極值點(diǎn)．
②時(shí)，有兩個相同的解，時(shí)，
∴時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點(diǎn)．
③當(dāng)時(shí)，f'（x）=0有兩個不同解，
∴（i）b≤0時(shí)，，，
此時(shí)f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：∵b≤0時(shí)，f（x）有惟一極小值點(diǎn)，
（ii）當(dāng)時(shí)，0＜x₁＜x₂＜1
此時(shí)，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，f（x）有一個極大值和一個極小值點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)f（x）有極值點(diǎn)；
當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有惟一最小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，f（x）有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)
（3）由（2）可知當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，
此時(shí)f（x）有惟一極小值點(diǎn)
且 
 
令函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）              
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和含有字母參數(shù)的函數(shù)極值的討論，屬于難題．