Question

關于函數(shù)f（x）=3cos（2x+

π

6

）（x∈R），下列命題中正確的是

 

①由|f（x₁）|=|f（x₂）|=3且x₁≠x₂，可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）的圖象關于點（

π

6

，0）對稱；
③y=f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱；
④y=f（x）的表達式可以改寫成y=3sin（2x-

π

3

）；
⑤y=f（x）在區(qū)間[-

π

3

，-

π

6

]上是增加的．

Answer 1

考點：余弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：由條件利用余弦函數(shù)的圖象和性質，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=3cos（2x+

π

6

）（x∈R）的周期為π，故由由|f（x₁）|=|f（x₂）|=3且x₁≠x₂，可得x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍，故①不正確．
由于當x=

π

6

時，f（x）=0，故y=f（x）的圖象關于點（

π

6

，0）對稱，故②正確．
由于當x=

π

3

時，f（x）=-

3 3

2

，不是函數(shù)的最值，故y=f（x）的圖象不關于直線x=

π

3

對稱，故③不正確．
由于y=3sin（2x-

π

3

）=-3cos[

π

2

+（2x-

π

3

）]=-3cos（2x+

π

6

），故④不正確．
當x∈[-

π

3

，-

π

6

]，2x+

π

6

∈[-

π

2

，-

π

6

]，故y=f（x）在區(qū)間[-

π

3

，-

π

6

]上是增加的，故⑤正確，
故答案為：②⑤．

點評：本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題．