設平面內(nèi)的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，點P是直線OM上的一個動點，求當
PA
•
PB
取最小值時，
OP
的坐標及∠APB的余弦值．
分析：可設
OP
=（x，y），由
OP
與
OM
共線可得x=2y，進而可得
PA
•
PB
=5y2-20y+12，可知當y=2時取最小值，可得
OP
的坐標，而∠APB的余弦值等于
PA
•
PB
|
PA
||
PB
|
，代入坐標可求．
解答：解：由題意，可設
OP
=（x，y），∵點P在直線OM上，
∴
OP
與
OM
共線，而
OM
=(2，1)，
∴x-2y=0，即x=2y，故
OP
=（2y，y），
又
PA
=
OA
-
OP
=（1-2y，7-y），
PB
=
OB
-
OP
=（5-2y，1-y），
所以
PA
•
PB
=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y2-20y+12，
當y=-
-20
2×5
=2時，
PA
•
PB
=5y2-20y+12取最小值-8，
此時
OP
=（4，2），
PA
=（-3，5），
PB
=（1，-1），
∴cos∠APB=
PA
•
PB
|
PA
||
PB
|
=
-8
34
2
=-
4
17
17
點評：本題考查向量共線的條件，向量的坐標運算，數(shù)量積的坐標表示，向量的模的求法及利用數(shù)量積計算夾角的余弦，綜合性強，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設平面內(nèi)的向量
OA
=(-1，-3)，
OB
=(5，3)，
OM
=(2，2)，點P在直線OM上，且
PA
•
PB
=16．
（Ⅰ）求
OP
的坐標；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）設t∈R，求|
OA
+t
OP
|的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設平面內(nèi)的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，點P是直線OM上的一個動點，且
PA
•
PB
=-8，求
OP
的坐標及∠APB的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設平面內(nèi)的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，點P是直線OM上的一個動點，求當
PA
•
PB
取最小值時，
OP
的坐標及∠APB的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設平面內(nèi)的向量
OA
=(-1，-3)，
OB
=(5，3)，
OM
=(2，2)，點P在直線OM上，且
PA
•
PB
=16．
（Ⅰ）求
OP
的坐標；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）設t∈R，求|
OA
+t
OP
|的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案