Question

已知點F₁，F₂的坐標分別是（-3，0）、（3，0），動點M滿足△MF₁F₂的周長為16，
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若線段PQ是軌跡C上過點F₂的弦，求△PQF₁的內切圓半徑最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|，得M的軌跡是橢圓，設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得2a=10，c=3，又b²=a²-c²．解出即可．
（2）設過點F₂的直線方程：x=my+3，與橢圓聯(lián)立方程組消去x得：（16m²+25）y²+96my-256=0，設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用根與系數的關系可得|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=160•

m2+1 (16m2+25)2

，令t=m²+1，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（1）由題意得|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|，得M的軌跡是橢圓，
設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴2a=10，c=3，
∴b²=a²-c²=16．
即動點M的軌跡方程是：

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）設過點F₂的直線方程：x=my+3，與橢圓聯(lián)立方程組消去x得：
（16m²+25）y²+96my-256=0，
設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

-96m

16m2+25

，y₁y₂=

-256

16m2+25

，
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -96m 16m2+25 )2- 4×(-256) 16m2+25

=160•

m2+1 (16m2+25)2

，
令t=m²+1，則|y₁-y₂|=160•

1 (16t+9)2 t

=160×

1 256t+ 81 t +288

≤

32

5

，
在t=1時，上式取到最小值，即m=0，此時PQ⊥x軸，且|PQ|=

32

5

．
此時△P F₁Q的面積達到最大值S△PQF1=

1

2

|F1F2|•|PQ|=

96

5

，
由于△PQF₁的周長是定值20，所以當面積取最大值時，內切圓半徑有最大值

48

25

．

點評：本題綜合考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交轉化為方程聯(lián)立可得根與系數的關系、基本不等式的性質、弦長公式、三角形的面積計算公式，考查了三角形的內切圓問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．