Question

已知函數(shù)f（x）=

x

3x+1

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求證：S_n＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式把a(bǔ)_n代入求得數(shù)列的遞推式，兩邊取倒數(shù)整理可得

1

an+1

-

1

an

=3進(jìn)而判斷出{

1

an

}為等差數(shù)列首項為1，公差為3，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入S_n進(jìn)而利用裂項法求得數(shù)列的和，進(jìn)而根據(jù)

1

3

（1-

1

3n+1

）＜

1

3

證明原式．

解答：解：（1）依題意可知a_n+1=f（a_n）=

an

3an+1

；
由于a₁=1不為0，所以a_n+1=f（a_n）都不為0，
上式兩邊同取倒數(shù)得到：

1

an+1

=

3an+1

an

；
∴

1

an+1

=3+

1

an

； 即：

1

an+1

-

1

an

=3
∴{

1

an

}為等差數(shù)列首項為1，公差為3
∴

1

an

=1+（n-1）×3=3n-2
∴a_n=

1

3n-2

（2）證明：由（1）可知a_n=

1

3n-2

∴a_na_n+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

3

（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…

1

3n-2

-

1

3n+1

）=

1

3

（1-

1

3n+1

）＜

1

3

原式得證．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，數(shù)列的通項公式以及數(shù)列的求和問題．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的能力．