Question

已知函數f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（1）求函數f（x）的最小正周期，單調遞減區(qū)間和圖象的對稱軸方程；
（2）當x∈[-

π

4

，

π

3

]，求函數f（x）的值域；
（3）已知銳角三角形ABC的三個內角分別為A、B、C，若f（A-

π

6

）=1，BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的長．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法,余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（1）由條件利用三角恒等變換化簡函數的解析式為f（x）=sin（2x+

π

6

），可得函數的周期．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區(qū)間．令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，求得x的解析式，可得函數圖象的對稱軸方程．
（2）當x∈[-

π

4

，

π

3

]時，利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）的值域．
（3）在銳角三角形ABC中，由f（A-

π

6

）=sin（2A-

π

6

）=1，求得A=

π

3

．再根據 BC=

7

，sinB=

21

7

，利用正弦定理求得AC的值．

解答： 解：（1）函數f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

），
故函數的周期為

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函數的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，求得 x=

kπ

2

+

π

6

，可得函數圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

，k∈z．
（2）當x∈[-

π

4

，

π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，∴sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，即函數f（x）的值域為[-

3

2

，1]．
（3）已知銳角三角形ABC中，f（A-

π

6

）=sin（2A-

π

6

）=1，∴2A-

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

．
再根據 BC=

7

，sinB=

21

7

，利用正弦定理可得

AC

sinB

=

BC

sinA

，即

AC

21 7

=

7

3 2

，∴AC=2．

點評：本題主要考查三角恒等變換、正弦函數的周期性、單調性、對稱性，正弦函數的定義域和值域，正弦定理的應用，屬于基礎題．