Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且對任意n∈N^*時，點（a_n，S_n）都在函數(shù)f（x）=-

1

2

x+

1

2

的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

3

2

log3(1-2Sn)+10，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最大值．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的前n項和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意得Sn=-

1

2

an+

1

2

，再由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

和等比數(shù)列的定義，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比數(shù)列的前n項和公式化簡b_n，再由等差數(shù)列的定義證明出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，再由

bn≥0 bn+1＜0

求出n的范圍，根據(jù)n取正整數(shù)和等差數(shù)列的前n項和公式，確定、并求出T_n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因為點（a_n，S_n）都在函數(shù)f(x)=-

1

2

x+

1

2

的圖象上．
所以Sn=-

1

2

an+

1

2

，（1分）
當n=1時，S1+

1

2

a1=

1

2

，∵S1=a1∴a1=

1

3

，（2分）
當n≥2時，Sn-1=-

1

2

an-1+

1

2

，（3分）
所以an=Sn-Sn-1=-

1

2

an+

1

2

+

1

2

an-1-

1

2

=-

1

2

an+

1

2

an-1，（4分）
∴an=

1

3

an-1，∴{a_n}是公比為

1

3

，首項為

1

3

的等比數(shù)列，（5分）
∴an=(

1

3

)n；（6分）
（Ⅱ）因為{a_n}是公比為

1

3

，首項為

1

3

的等比數(shù)列，
所以Sn=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)，（7分）
∴bn=

3

2

log3(1-2Sn)+10=-

3

2

n+10，（8分）
∵bn+1-bn=-

3

2

，
∴數(shù)列{b_n}是以

17

2

為首項，公差為-

3

2

的等差數(shù)列，且單調(diào)遞減（9分）
由

bn≥0 bn+1＜0

，
所以

- 3 2 n+10≥0 - 3 2 (n+1)+10＜0

，即5

1

3

＜n≤6

2

3

，（10分）
∴n=6，（11分）
數(shù)列{b_n}的前n項和的最大值為T6=

1

2

(

17

2

+1)×6=

57

2

．（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，考查了它們的定義、通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的前n項和的最值，屬于中檔題．