Question

過點A（1，1）與曲線y=2x-x³相切的切線的條數(shù)是（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：設切點坐標為P（t，2t-t³），再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，再根據(jù)過點A和切點的斜率等于切線的斜率，列出方程，求出斜率k，根據(jù)斜率的個數(shù)即可判斷切線的條數(shù)，從而得到答案．

解答：解：設切點P（t，2t-t³），
∵y=2x-x³，則y′=-3x²+2，
∴在點P處切線的斜率為k=y′|_x=t=-3t²+2，
又切線過點P（t，2t-t³）和點A（1，1），由兩點間斜率公式可得k=

2t-t3-1

t-1

=-t+1，
∴-3t²+2=-t+1，即3t²-t-1=0，
△=（-1）²-4×3×（-1）=13＞0，
∴t有兩個解，即k有兩個解，
∴過點A（1，1）與曲線y=2x-x³相切的切線的條數(shù)是2．
故選C．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處切線的方程．解題時要特別注意是“在”還是“過”，若是不能確定是否是切點，則設出切點進行求解．此類問題是易錯題，關鍵要注意審題．屬于基礎題．