Question

為提高學生的素質，某校決定開設一批選修課程，分別為文學、藝術、競賽三類，這三類課程所含科目的個數分別占總數的

1

2

、

1

4

、

1

4

，現在3名學生獨立地從中任選一個科目參加學習．
（1）求他們選擇的科目所屬類別互不相同的概率；
（2）記ξ為3人中選擇的科目屬于文學或競賽的人數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）由甲、乙、丙三人選擇的科目所屬類別互不相同的情況有A₃³種，由此能求出他們選擇的科目所屬類別互不相同的概率．
（2）設η為3人中選擇的科目屬于藝術的人數，則η～B（3，

1

4

），由題設知ξ=3-η，由此能求出ξ人分布列及數學期望．

解答：解：（1）∵甲、乙、丙三人選擇的科目所屬類別互不相同的情況有A₃³=6種，
∴他們選擇的科目所屬類別互不相同的概率p=6×

1

2

×

1

4

×

1

4

=

3

16

．
（2）設η為3人中選擇的科目屬于藝術的人數，則η～B（3，

1

4

），
由題設知ξ=3-η，
則P（ξ=k）=P（η=3-k）=

C

3-k 3

(

1

4

)3-k(1-

1

4

) k，
∴ξ人分布列是

ξ	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

Eξ=3-Eη=3-3×

1

4

=

9

4

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的性質的靈活運用．