Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．其中b=

3

2

，且tanA+tanC+tan

π

3

=tanAtanCtan

π

3

．
（1）求角B的大小；
（2）求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知等式變形后，根據(jù)1-tanAtanC不為0，求出tanB的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由b與sinB的值，利用正弦定理列出關(guān)系式，表示出a與c，進(jìn)而表示出a+c，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出a+c的范圍即可．

解答：解：（1）由tanA+tanC+tan

π

3

=tanAtanCtan

π

3

，得到tanA+tanC=-tan

π

3

（1-tanAtanC），
可知1-tanAtanC≠0，否則有tanAtanC=1，tanA+tanC=0，互相矛盾；
∴

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-tan

π

3

，即tan（A+C）=-tanB=-

3

，
∴tanB=

3

，
∵B為三角形內(nèi)角，∴B=

π

3

；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3 2

sin π 3

=1，
∴a=sinA，c=sinC=sin（

2π

3

-A），
∴a+c=sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
則a+c的范圍是（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．