Question

已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx+1（a∈R），g（x）=x e^1-x。
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間[1，e]上都存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（3）給出如下定義：對(duì)于函數(shù)y=F（x）圖象上任意不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果對(duì)于函數(shù)y=F（x）圖象上的點(diǎn)M（x₀，y₀）（其中總能使得F（x₁）﹣F（x₂）=F'（x₀）（x₁-x₂）成立，則稱函數(shù)具備性質(zhì)“L”，試判斷函數(shù)f（x）是不是具備性質(zhì)“L”，并說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵g'（x）=e^1-x+xe^1-x=e^x-1（1-x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，
在區(qū)間[1，e）上單調(diào)遞減，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e²-e
函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]。
（2）令m=g（x），則由（1）可得m∈（0，1]，
原問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的m∈（0，1]
f（x）=m在[1，e]上總有兩個(gè)不同的實(shí)根，
故f（x）在[1，e]不可能是單調(diào)函數(shù)                              
∴
當(dāng)a≤0時(shí)，，在區(qū)間[1，e]上遞減，不合題意
當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）＞0，在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，不合題意
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，不合題意
當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單遞增，
由上可得，此時(shí)必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，
而由可得，
則a∈Φ
綜上，滿足條件的a不存在.
（3）設(shè)函數(shù)f（x）具備性質(zhì)“L”，即在點(diǎn)M處地切線斜率等于k_AB，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，
則，
而f（x）在點(diǎn)M處的切線斜率為，
故有…
即，
令，
則上式化為，
令F（t）=，
則由
可得F（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，
故F（t）＜F（1）=0，
即方程無(wú)解，
所以函數(shù)f（x）不具備性質(zhì)“L”。