Question

數(shù)列{a_n}滿足：a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N，n≥2），其中a₄=365，
（1）求a₁，a₂，a₃； （2）若{

an+λ

3n

}為等差數(shù)列，求常數(shù)λ的值；（3）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）令數(shù)列的遞推關(guān)系中的n依次取4，3，2，通過解方程求出a₁，a₂，a₃；
（2）求出數(shù)列{

an+λ

3n

}的第n項減去第n-1項求出差，由于差為常數(shù)，令2λ+1=0，求出常數(shù)λ的值．
（3）利用等差數(shù)列的通項公式先求出{

an- 1 2

3n

}的通項，通過解方程求出a_n，利用錯位相減法求出前n項和．

解答：解：（1）a₁=5，a₂=23，a₃=95
（2）由{

an+λ

3n

}為等差數(shù)列可得：

an+λ

3n

-

an-1+λ

3n-1

為常數(shù)，
即

3n-(2λ+1)

3n

為常數(shù)，
所以2λ+1=0，
故λ=-

1

2

（3）由2）可得an=(n+

1

2

)3n+1
Sn′=  

3

2

×3+

5

2

×32+…+ (n+

1

2

)3n
3S_n′=

3

2

×32+

5

2

×33+…(n-

1

2

)×3n+(n+

1

2

)×3ⁿ⁺¹
∴-2Sn′=

9

2

+32+33+…+3n-(n+

1

2

)×3n+1
所以Sn=

n

2

(3n+1+1)

點評：求數(shù)列的前n項和時，應(yīng)該先求出通項，判斷出通項的特點，再選擇合適的求和方法．