Question

若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為3，則其外接球的表面積是

27π

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，因此以三條側(cè)棱為長(zhǎng)、寬、高構(gòu)造正方體如圖所示，該正方體的外接球就是三棱錐的外接球，利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)公式算出球的直徑，再根據(jù)球的表面積公式加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：設(shè)三棱錐A-BCD中，面ABC、面ABD、面ACD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=3，
則AB、AC、AD兩兩互相垂直，以AB、AD、AC為長(zhǎng)、寬、高，構(gòu)造正方體如圖所示，
可得該正方體的外接球就是三棱錐A-BCD的外接球，
設(shè)球半徑為R，可得正方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于球直徑2R，
即2R=

AB2+AC2+AD2

=3

3

，解得R=

3 3

2

，
∴外接球的表面積是S=4πR²=4π×（

3 3

2

）²=27π．
故答案為：27π

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的三棱錐，求它的外接球的表面積．著重考查了多面體的外接球、長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)公式和球的表面積計(jì)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．