Question

在平面內，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，橢圓的離心率為

3

2

，P點是橢圓上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=4，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）以橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形ABC，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在請說明有幾個、并求出直角邊所在直線方程？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意得

2a=4 c a = 3 2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設BA的直線方程為設y=kx+1，（不妨設k＞0）．由

y=kx+1 x2 4 + y2 1 =1

，得（1+4k²）x²+8kx=0，由此分別用k表示出AB和BC的長，再由AB=BC，求出直角邊所在直線方程．

解答：解：（1）由題意得

2a=4 c a = 3 2

，∴

a=2 c= 3

，∴b=1，
∴方程為：

x2

4

+

y2

1

=1．（5分）
（2）設BA的直線方程為設y=kx+1，（不妨設k＞0）
由

y=kx+1 x2 4 + y2 1 =1

，得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x1=0，x2=

-8k

4k2+1

，（7分）
∴A(

-8k

4k2+1

，

-8k2

4k2+1

+1)，
∴AB=

( -8k 4k2+1 )2+( -8k2 4k2+1 )2

=

8k

4k2+1

k2+1

，
∴BC=

8 k2+1

k2+4

，
由AB=BC，得k（k²+4）=4k²+1，
即（k-1）（k²-3k+1）=0，即k=1或k=

3± 5

2

所以，存在3個等腰直角三角形．
直角邊所在直線方程為y=±x+1，y=

±3+ 5

2

x+1，y=

±3- 5

2

x+1．…（15分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查等腰直角三角形個數(shù)的判斷和直角邊所在直線方程的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．