Question

已知函數(shù)f(x)＝2a·4^x－2^x－1.

(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的零點；

(2)若f(x)有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)當a＝1時，f(x)＝2·4^x－2^x－1.

令f(x)＝0，即2·(2^x)²－2^x－1＝0，解得2^x＝1或2^x＝－(舍去)．

∴x＝0，∴函數(shù)f(x)的零點為x＝0.      --------------------------4

(2)解法一：若f(x)有零點，則方程2a·4^x－2^x－1＝0有解----------------6

于是2a＝

＝()^x＋()^{x                                            ----------------------------------------------------------}10

∵()^x>0，∴2a>－＝0，即  a>0.------------------------------12

解法二：令t＝2^x，∵x∈R，∴t>0，

則方程2at²－t－1＝0在(0，＋∞)上有解． ------------------------6

①當a＝0時，方程為t＋1＝0，即t＝－1<0，

此時方程在(0，＋∞)無解．-----------------------------------------8

②當a≠0時，令g(t)＝2at²－t－1，

若方程g(t)＝0在(0，＋∞)上有一解，則ag(0)<0，即－a<0，解得a>0.

若方程g(t)＝0在(0，＋∞)上有兩解，則

無解

                    -------------------------------------------10

綜上所述，所求實數(shù)a的范圍是(0，＋∞)． --------------------------12