Question

18、已知函數(shù)f（x）=-x²+2x．
（1）證明：f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[-5，2]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知函數(shù)的解析式f（x）=-x²+2x，我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，并分析出當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）≤0恒成立，進(jìn)而得到f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）由已知函數(shù)的解析式f（x）=-x²+2x，我們易判斷出函數(shù)圖象的形狀及函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，即可求出當(dāng)x∈[-5，2]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=-x²+2x．
∴f′（x）=-2x+2．
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，
f′（x）≤0恒成立
∴f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）∵函數(shù)f（x）=-x²+2x的圖象是開口方向朝下，
以直線x=1為對稱軸的拋物線
∴當(dāng)x∈[-5，2]時(shí)，
f（x）的最大值和最小值分別為f（1）=1，f（-5）=-35

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，（1）中根據(jù)函數(shù)的解析式，求導(dǎo)函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，（2）中分析函數(shù)圖象的形狀及函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．