Question

定義：x∈R，且當(dāng)m-

1

3

＜x≤m+

2

3

（m∈Z）時(shí)，φ（x）=m；令函數(shù)f（x）=|x-φ（x）|，有以下三個(gè)命題：
①f（x）是最小正周期為1的周期函數(shù)；
②f（x）的值域?yàn)閇0，1]；
③f（x）在（k，k+

2

3

]上是增函數(shù)（k∈Z）
其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題為新定義問(wèn)題，因?yàn)閙為整數(shù)，故可取m為幾個(gè)特殊的整數(shù)進(jìn)行研究，從而可得函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象即可求得結(jié)論．

解答： 解：由題意x-φ（x）=x-m，
∴f（x）=|x-φ（x）|=|x-m|，
m=0時(shí)，-

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3

＜x≤

2

3

，f（x）=|x|，
m=1時(shí)，1-

1

3

＜x≤1+

2

3

，f（x）=|x-1|，
m=2時(shí)，2-

1

3

＜x≤2+

2

3

，f（x）=|x-2|，
圖象如下圖所示：

由圖象可知正確命題為①③．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義問(wèn)題，考查函數(shù)的性質(zhì)，可結(jié)合圖象進(jìn)行研究，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)的圖象．