Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（1）當(dāng)a=-1時，解不等式f（x）+g（x）≤4；
（2）若當(dāng)g（x）≤5時，恒有f（x）≤6，求a的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-1時，不等式f（x）+g（x）≤4，即|x+

1

2

|+|x-

1

2

|≤

5

2

，再根據(jù)絕對值的意義求得它的解集．
（2）由g（x）≤5，求得-2≤x≤3；由f（x）≤6可得a-3≤x≤3．根據(jù)題意可得，a-3≤-2，由此求得a的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時，不等式f（x）+g（x）≤4，即|2x+1|-1+|2x-1|≤4，
即|x+

1

2

|+|x-

1

2

|≤

5

2

．
由于|x+

1

2

|+|x-

1

2

|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到-

1

2

、

1

2

對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而

5

4

和-

5

4

對應(yīng)點(diǎn)到-

1

2

、

1

2

對應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于

5

2

，故不等式的解集為[-

5

4

，

5

4

]．
（2）g（x）≤5，即|2x-1|≤5，求得-2≤x≤3．
由f（x）≤6可得|2x-a|≤6-a，即 a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3．
根據(jù)題意可得，a-3≤-2，求得a≤1，故a的最大值為1．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．