Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=

2an

an+1

．
（Ⅰ）證明數(shù)列{

1

an

-1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：a_i（a_i-1）＜3

Answer 1

分析：（1）對(duì)a_n+1=

2an

an+1

兩邊求倒數(shù)得

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1），由a₁=2得出數(shù)列{

1

an

-1}是首項(xiàng)為-

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．寫(xiě)出其通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1)(2i-2)

=

2i-1

(2i-1)(2i-1-1)

=

1

2i-1-1

-

1

2i-1

證出即可．

解答：（Ⅰ）解：由a₁=2，a_n+1=

2an

an+1

得，對(duì)n∈N^*，a_n≠0．
從而由a_n+1=

2an

an+1

兩邊取倒數(shù)得，

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

．
即

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1），
∵a₁=2，

1

a1

-1=-

1

2

．
∴數(shù)列{

1

an

-1}是首項(xiàng)為-

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴

1

an

-1=-

1

2

•

1

2

n-1=-(-

1

2

)n
∴

1

an

=1-

1

2n

=

2n-1

2n

．∴a_n=

2n

2n-1

．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=

2n

2n-1

．
（Ⅱ）∵a_n=

2n

2n-1

，
∴a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

（i=1，2，，n），
當(dāng)i≥2時(shí)，
∵a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1)(2i-2)

=

2i-1

(2i-1)(2i-1-1)

=

1

2i-1-1

-

1

2i-1

，
∴a_i（a_i-1）=a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）
=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

+…+

2n

(2n-1)2

＜

21

(21-1)2

+（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）
=2+1-

1

2n-1

=3-

1

2n-1

＜3．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生對(duì)等比關(guān)系的判斷能力，會(huì)利用數(shù)列的遞推式的能力，以及不等式的證明能力．