已知sin(2α+β)=3sinβ,設(shè)tanα=x,tanβ=y,記y=f(x),
(1)求f(x)的解析表達(dá)式;
(2)若α角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,試求函數(shù)f(x)的值域.
【答案】
分析:(1)把已知條件等號(hào)左邊2α+β變?yōu)椋é?β)+α,把等號(hào)右邊β變?yōu)椋é?β)-α,然后兩邊分別利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,合并后把弦化為切得到tan(α+β)=2tanα,再把等號(hào)左邊利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡后,把tanα=x,tanβ=y代入即可得到y(tǒng)與x的表達(dá)式;(2)由α是三角形的最小內(nèi)角得到α大于0小于等于
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,則tanα=x就大于0小于等于
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,得到f(x)大于0,可設(shè)
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,利用基本不等式求出g(x)的最小值,即為f(x)的最大值,即可得到f(x)的值域.
解答:解:(1)由sin(2α+β)=3sinβ,得sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα,
∴sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,
∴tan(α+β)=2tanα,
由tanα=x,tanβ=y,則
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,
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,
∴
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,即f(x)=
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.
(2)∵α角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,∴0<α≤
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,
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,
設(shè)
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,則
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≥
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(當(dāng)且僅當(dāng)
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時(shí)取等號(hào)),
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182335200921008/SYS201310241823352009210016_DA/13.png">.
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡求值,會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值,會(huì)求函數(shù)的值域.此題的突破點(diǎn)是角度的變換.