Question

已知⊙C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0與⊙C₂：x²+y²+2x-2mx+m²-3=0．求當(dāng)m為何值時(shí)，兩圓：
（1）外離；
（2）外切；
（3）相交．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：（1）將圓C₁與圓C₂分別化成標(biāo)準(zhǔn)形式，可得它們的圓心坐標(biāo)和半徑長．如果C₁與C₂相離，則兩圓的半徑之和小于它們圓心間的距離，由此建立關(guān)于m的方程，解之即可得到m的范圍；
（2）C₁與C₂外切，則兩圓的半徑之和等于它們圓心間的距離，由此建立關(guān)于m的方程，解之即可得到m的值
（3）若C₁與C₂相交，則兩圓的圓心距小于大半徑與小之差，小于半徑和，由此建立關(guān)于m的不等式，即可解出m的取值范圍．

解答： 解：∵圓C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0，∴將圓C₁化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得
C₁：（x-m）²+（y+2）²=9，圓心為C₁（m，-2），半徑r₁=3
同理，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程是：（x+1）²+（y-m）²=4，圓心為C₂（-1，m），半徑r₂=2．
（1）如果圓C₁與圓C₂相離，則|C₁C₂|=r₁+r₂=5，即

(-m-1)2+(2+m)2

＞5
平方化簡(jiǎn)整理，得m²+3m-10＞0，
解之得{m|m＞2或m＜-5}．
（2）圓C₁與圓C₂相離，則|C₁C₂|=r₁+r₂=5，即

(-m-1)2+(2+m)2

=5
平方化簡(jiǎn)整理，得m²+3m-10=0，
解之得{m|m=2或m=-5}．
（3）如果C₁與C₂相交，則5＞|C₁C₂|＞|r₁-r₂|=1，即5＞

(-m-1)2+(2+m)2

＞1，
解之得{m|-5＜m＜-2或-1＜m＜2}．

點(diǎn)評(píng)：本題給出兩個(gè)含有字母m的圓的一般方程，在滿足外切、相離、相交的情況下求m的取值范圍．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)間的距離公式和圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．