Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）的極小值為1，求a的值．
（2）若對任意x∈（0，1]，都有|f（x）|≥1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax2-

1

x

=

3ax3-1

x

，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出a=

1

3

e2．
（2）要使|f（x）|≥1恒成立，則f（x）的極小值大于或等于1成立，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能注出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-lnx，∴f′（x）=3ax2-

1

x

=

3ax3-1

x

，x＞0，
當(dāng)a≤0時，f′(x)=

3ax3-1

x

＜0，
f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減，不存在極小值．
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，得x=

3	1 3a

，
x∈（0，

3	1 3a

）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（

3	1 3a

，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴x=

3	1 3a

是函數(shù)f（x）的極小值點，
f（x）的極小值為f（

3	1 3a

）=

1

3

+

1

3

ln(3a)=1，
解得a=

1

3

e2．
（2）由（1）知，當(dāng)a≤1時，f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減，
且f（x）在x=0附近趨于無窮大，而f（1）=a≤0，
由零點存在定理知f（x）在（0，1]內(nèi)存在一個零點，
|f（x）|≥1不恒成立．
當(dāng)a＞0時，若|f（x）|≥1恒成立，則|f（1）|≥1，即a≥1，
結(jié)合（1）知a≥1時，函數(shù)f（x）在（0，1]內(nèi)先減后增，
要使|f（x）|≥1恒成立，則f（x）的極小值大于或等于1成立，
∴

a≥1 f( 3 1 3a )= 1 3 + 1 3 ln(3a)≥1

，
解得a≥

1

3

e2，
綜上，a的取值范圍是[

1

3

e2，+∞）．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．