Question

如圖，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ＝2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連結GH．

（1）求證：AB∥GH；

（2）求平面PAB與平面PCD所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）欲證結合條件中出現的中點，因此可以考慮利用三角形的中位線性質定理來證明線線平行：由，，，分別是，，，的中點，可知，，故，從而有平面，再根據性質“一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行”，可知平面，平面平面，故有；（2）根據條件為中點及可知，再結合條件平面，因此可以以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設，則可知為平面的一個法向量，再設平面的一個法向量為，由，，得，取，得，因此兩個法向量夾角的余弦值，從而平面與平面所成角的正弦值為．

試題解析：（1）∵，，，分別是，，，的中點， 1分

∴，， 2分 ∴，

又∵平面，平面， ∴平面， 3分

又∵平面，平面平面， 4分 ∴，

又∵，∴； 6分

（2）在中，∵，，∴，即，

又∵平面，∴，，兩兩垂直，

以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，(注：坐標寫對給2分)

∴，， 8分

設平面的一個法向量為，

由，，得，取，得， 10分

又∵為平面的一個法向量，∴，

故平面與平面所成角的正弦值為． 12分

考點：1．線線平行的證明；2．利用空間向量求線面角．