Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都相等，二面角B-AA₁-C為

π

2

，則AA₁與底面ABC所成角的正弦值為（　�。�

• A．

  2

  3

• B．

  6

  3

• C．

  2

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：根據(jù)棱柱的體積等于底面積乘以高，等于直截面乘以側(cè)棱長(zhǎng)，可求A₁到平面ABC的距離為h，從而可求AA₁與底面ABC所成角的正弦值．

解答：解：設(shè)棱長(zhǎng)為1，A₁到平面ABC的距離為h
過(guò)B作BD⊥A₁A，垂足為D，連接CD，則∠BDC=

π

2

，△BCD為棱柱的直截面
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都相等
∴BD=CD=

2

2

∴S△BDC=

1

4

根據(jù)棱柱的體積等于底面積乘以高，等于直截面乘以側(cè)棱長(zhǎng)可得

3

4

×h=

1

4

×1
∴h=

3

3

設(shè)AA₁與底面ABC所成角為α，則sinα=

h

1

=

3

3

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題以三棱柱為載體，考查線面角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)棱柱的體積等于底面積乘以高，等于直截面乘以側(cè)棱長(zhǎng)，可求A₁到平面ABC的距離．